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By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven scenario. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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F¨ ur jeden Punkt P ist also ϑ(P ) gleich dem Bild von P unter der Parallelverschiebung πA ϑ(A) . Also ist ϑ = πA ϑ(A) . Umkehrung: Ist πAB eine Parallelverschiebung mit Fixpunkt F , so ist (A, B, F, F ) ein Parallelogramm. Dann muss A = B, also πAB = id sein. 9 jede Parallelverschiebung eine Dilatation und damit folgt (c) aus (b). 12 bei Auszeichnung eines Punktes bijektiv den Punkten der Ebene. Dagegen gibt es in affinen Inzidenzebenen, in denen (d) nicht gilt, eventuell keine Translation, die einen gegebenen Punkt P in einen gegebenen Punkt Q abbildet, eventuell sogar gar keine von idP verschiedene Translation.

Ar ❅ ❅ rB a ❅ ❅ b e ❅d ❅ f ❅ ❅r r C D Figur 10 c c Ar ❅ c ❅ a rB (A, B, D, C) ❅ ❅ d usw. ❅ f r ❅r C D Figur 10 d Hinweis: In diesem Abschnitt wurde weder bei der Definition von Parallelogrammen noch bei den anschließenden Bemerkungen die G¨ ultigkeit von (d) vorausgesetzt. Jedoch gelten die meisten der folgenden Ergebnisse nur in (d)-Ebenen. 1 (b) ist abh¨ angig von dem Paar (V, W ) der Hilfspunkte. 1 (b) eines uneigentlichen Parallelogramms unabh¨ angig von der Auswahl des Paares der Hilfspunkte in folgendem Sinn: Ist (P, Q, R, S) ein uneigentliches Parallelogramm, so gilt f¨ ur alle Punktepaare (V, W ) : (P, Q, V, W ) ist ein eigentliches Parallelogramm genau dann, wenn (R, S, V, W ) ein eigentliches Parallelogramm ist.

Analog spricht man von Papposschen Ebenen oder von (P)-Ebenen, wenn (P) gilt. Inzidenzebenen, in denen (d) gilt, heißen (d)-Ebenen oder Translationsebenen 9 . Somit gelten in (P)-Ebenen alle hier angegebenen Schließungss¨atze. In (D)-Ebenen gelten außer (D) auch noch (D*) und (S) sowie die drei kleinen Schließungss¨atze (p), (d) und (s); jedoch gilt hier (P) im Allgemeinen nicht. In (d)-Ebenen gelten die drei kleinen Schließungss¨ atze (d), (p) und (s). In Zukunft werden wir im allgemeinen (D)-Ebenen betrachten, wenn nicht ausdr¨ ucklich etwas anderes gesagt wird.

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