Download Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: Eine Einführung by Jürgen Appell PDF

By Jürgen Appell

Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand derer guy die Bedeutung mathematischer Sätze besonders intestine erkennen kann.

In den ersten drei Kapiteln werden die wesentlichen Ergebnisse über stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen zusammengestellt.

Das vierte Kapitel geht etwas über den üblichen Analysisstoff hinaus und ist "merkwürdigen" Teilmengen der reellen Achse und zugehörigen Funktionen gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünften und sechsten Kapitel behandelt.

Zum Verständnis des Buches genügt die Kenntnis einiger Grundbegriffe der Elementarmathematik (Mengen, Aussagen, Relationen, Funktionen, Induktion), wie sie in vielen Einführungskursen im ersten Semester vermittelt werden. Über die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein weiteres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels. Es ist daher auch sehr intestine als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

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27. 33 Dann heißt f : M → R monoton wachsend [bzw. monoton fallend bzw. streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend ], falls aus x1 , x2 ∈ M und x1 < x2 stets f (x1 ) ≤ f (x2 ) [bzw. f (x1 ) ≥ f (x2 ) bzw. f (x1 ) < f (x2 ) bzw. f (x1 ) > f (x2 )] folgt. Ist f monoton wachsend oder fallend, so nennen wir f einfach monoton, und ist f streng monoton wachsend oder fallend, so nennen wir f einfach streng monoton. Die Menge aller auf M monotonen Funktionen bezeichnen wir mit M on(M ). y y x x Abb.

Sei M eine Fσ Menge, deren Komplement R \ M auch eine Fσ -Menge ist; können wir M dann als Durchschnitt einer offenen und einer abgeschlossenen Menge darstellen? Die Antwort ist negativ, wie das folgende Beispiel zeigt. Sei M := R \ {1, 12 , 13 , 14 , . }. Da R \ M = {1, 12 , 13 , 14 , . } = (0, ∞) ∩ {0, 1, 12 , 13 , 14 , . } gilt, ist R\M als Durchschnitt einer offenen und einer abgeschlossenen Menge darstellbar. Nach dem eben Bewiesenen sind mithin sowohl R \ M als auch M selbst Fσ -Mengen. Allerdings ist M im Gegensatz zu R \ M nicht als Durchschnitt einer offenen und einer abgeschlossenen Menge darstellbar.

32. Sei I ⊆ R ein Intervall. Ein Punkt x0 ∈ I o heiße Zunahmepunkt [bzw. Abnahmepunkt ] einer Funktion f : I → R, falls es ein δ > 0 gibt derart, dass aus x0 − δ < x < x0 stets f (x) ≤ f (x0 ) [bzw. f (x) ≥ f (x0 )] und aus x0 < x < x0 + δ stets f (x0 ) ≤ f (x) [bzw. f (x0 ) ≥ f (x)] folgt. Des weiteren nennen wir eine Funktion f : I → R in x0 ∈ I o monoton wachsend [bzw. monoton fallend ], falls es ein δ > 0 gibt derart, dass f auf dem Intervall [x0 − δ, x0 + δ] ∩ I monoton wächst [bzw. monoton fällt].

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