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By Professor Dr. Helmut Wolter, Dr. Bernd Ingo Dahn (auth.)

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B. fur die Addition: Sind (a~) und (b~) andere Reprasentanten von a bzw. , wenn (an) '" (a~) und (bn) '" (b~), so ist (an + bn) '" (a~ + b~). Dies bedeutet dann namlich, daB (an + bn ) = (a~ + b~), womit die gleiche reelle Zahl festgelegt ist. Analog verfahrt man mit den anderen Fallen. Mit den so eingefiihrten Funktionen + und . und der Relation < bildet die Menge der reellen Zahlen (= Menge der entsprechenden Aquivalenzklassen) einen archimedisch geordneten Karper, in dem das Intervallschachtelungsaxiom gilt.

3 Komplexe Zahlen 4/3/0 Wir fiihren jetzt die komplexen Zahlen ein, urn sie flir die Behandlung von sog. Potenzreihen zur Verfiigung zu haben. 3 Komplexe Zahlen 53 Wir setzen als bekannt voraus, daB R x IR := 1R2 einen zweidimensionalen Vektorraum mit den folgenden Operationen bildet: (a, b)+(e, d) e· (a, b) Df (a + e, b + d) Df (ea, eb) (Addition von Elementen aus R2), 4/3/1 (Multiplikation mit reellen Zahlen). Zur geometrischen Veranschaulichung der komplexen Zahlen betrachten wir in 1R2 die kanonische Basis {(I, 0), (0, I)} und erhalten so ein rechtwinkliges Koordinatensystem fur R2, mit dessen Hilfe sich die Elemente aus R2 als Punkte in der Ebene darstellen lassen (Gauflsche Zahlenebene) .

Offenbar ist a1 Weiterhin ist an = (1 + t) 1 = 2 ~ an fur jedes n. = (1 + ~) n < (1 + ~) n . (1 + ~) = (1 + ~) n+1 := bn . --' >1 Es genugt zu zeigen, daB die Folge (b n ) streng monoton fallt. : bb n > 1 (denn aile bn sind positiv). n+1 Der Beweis hierzu verlauft ahnlich wie fUr (an). Damit haben wir b1 r = (1 + t = 4 2': bn fur jedes n. Also 2 ~ an < an+1 < bn+1 < bn ~ 4. Dann ist (an) monoton wachsend und beschrankt, also konvergent und (b n ) monoton fallend und beschrankt, und somit auch konvergent.

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